FPGA數值運算問題解答收集

walltsou

在使用FPGA後教了別人數次定點數小數表示法，發現一些狀況。但自己並不是走這一行的，所以一些比較深入的問題也無法回答。所以希望經由各位高手將其應用經驗以或是提供相關資料參考。
+ R% h' d4 t) H+ v# @: N能得到一些常用於FPGA的數值運算，如小數表示、乘除法、開根及平方、三角函數、亂數以及其他常用數值方法。
此篇文章屬拋磚引玉性質，可能對一些人來說這些知識是"幼稚班"等級，但對於像我這種由韌體兼職FPGA工程師是有很大的幫助。
( t7 j( {, m: x0 S+ W格式大概為下列所列，各作者可以自行調整。
9 H* t! S: k( U4 f  V7 O6 `主題：可以讓人了解的題目
  F/ j% v- A5 C使用資源：計算時間、使用Gate count數目等
適用及限定範圍：說明常用及不合適的地方
參考資料來源：出處或參考書本
* d4 F' m0 Z" ]8 m3 E原理說明及例子：就是文章開始的地方

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主題：定點數小數表示法
. C# P. w4 q1 y& \, R4 O2 W使用範圍：使用整數運算系統下之小數運算
參考資料：嵌入式系統構件 Jean J. Labrosse原著 黃文增譯 全華科技圖書出版
6 I# ^  O7 R8 b4 z0 D原理說明：
+ }0 s7 o* C4 T. \先復習一下計算機概論，有許多人都還給老師了。"^"表示次方運算
101.101b=2^3+2^0+2^-1+2^-3=5.625
現在是如何運用到FPGA上了。其實這個問題在之前的定點數DSP就遇過了，只是後來應用變少了。現在的FPGA又要用，捲土重來。
7 B& Y3 V6 m  O我們知道FPGA對於整數系統的加減法是可以，但是遇到小數有些人就不知該如何。其實不難，只要在整數運算系統上加上小數點就行了。
例如101.1b+101.1b=1011.0b，可以發現去掉小數點就和整數運算沒有兩樣。意指，只要將小數點那個位數對齊就可以了，使用移位對FPGA是很容易的。
但是整數運算使用為小數要標示小數位置，所以引入類似科學記號表示法。我們知道科學表示法為<尾數>E<指數>，例:3E3=3*10^3=3000，E表示10的次方。
定點數的表示法符號為S，表示法為<尾數>S<指數>，S表示為2的次方。舉例2.5S3=2.5*2^3=2.5*8=20。
在基本數學運算下的處理為：
" Q$ F3 c& y# t, Z: S1.加減法
處理方式是將小數位數對齊再做運算。例:2S3+3S2=20S2+3S2=23S2
/ m+ B" f5 g2 H0 R  v, S2.乘除法
+ @: ~" ]" m% c. n# b& c乘法時要將指數相加，尾數相乘。例:2S3*3S2=6S5
除法時要將指數相減，尾數相除。例:2S3/3S2=0.66S1
6 J6 D2 G% U# K) b5 _3.開根
7 J5 q8 b* i) ]$ @) i( G  s. ?主要是推導數學運算對指數的影響。
, N1 r0 o8 l" A; ksqrt(aSb)=sqrt(a)*sqrt(2^b)=sqrt(a)*2^(b/2)
5 X& M# H" r0 f$ I: D可以發現在開根時指數是除2，尾數直接開根。
4.小數精度的選用
4 A1 S: p$ R, t& t0 N4 K為了符合精度，要如何選用指數範圍。我們使用定點數其精度取決於二進位小數取多少位。
4 @# S0 O/ W- j/ `8 D例如若是使用S-4為其指數，每二數之間最小距離為2^-4=0.0625。此為S-4下的精度。
1 r1 T  g5 B, ?- U對應十進位精度可以使用log(精度)/log(2)去計算要使用的指數。
! D# |2 b( S% X+ O  m& D4 `( h使用精度0.1則S取用為log(0.1)/log(2)=-3.32，則使用S-4為其數值格式，就夠用了。
! _0 `- ?) z- }! r# Q5.數值範圍
因為定點數是有限的位元組成，也是有限的數字集合及有限的可使用範圍，一但超過範圍的數也無法表示。也就是在運算上有可能會產生縊位問題，而造成非預期結果。
- D9 q, t2 o1 b所以只可以使用在變動不大的運算上。所以要考量使用的數值範圍及使用精度，這方面是定點數在使用前要考量好的。
+ K$ ^8 G( x8 M/ h% _定點數應用例：
9 ^/ f7 s' v, n9 [7 t0 Z已知機器運算只能使用整數的狀況下，要使用小數，則是使用負的S指數，將尾數變成整數。尾數送入機器去運算；指數則是人工管理。
+ u) G2 \9 g$ M9 X. u5 X1 r例：r=10.1求圓面積area，假設輸出入需求精度為0.1
解答：精度為0.1則，log(0.1)/log(2)=-3.32，故選用的S指數要到S-4可以達成。
+ m5 |4 s* O" Dpi=3.1416=50S-4(四捨五入)
r=10.1=162S-4(四捨五入)
area=pi*r*r=50S-4*162S-4*162S-4=1312200S-12=5126S-4(四捨五入)
換算為320.375
2 n; [. F, L" t. Z( W  a實際為320.47386659269480825557425152834
# A: G1 n' n. M/ L5 m  b( _只有精準到整數，是因為所有數值精確度只有到0.1，誤差是0.05，運算來源有三個，故最大誤差為0.15，所以符合誤差範圍。
% c: E* M# p& k. t+ \由算式可以得知機器只計算50*162*162，解讀結果需右移8位元含四捨五入，輸出結果為S-4格式。
小技巧：
$ G6 g# Q7 t) P, p( {定點數之計算可以使用小算盤來算。將小算盤設定為工程型。使用二進位顯示就可以將十進位轉成二進位。
6 C0 P" k& _: P' P; r2 q! ^因二進位只能使用整數，所以要先轉成整數才可以顯示。
7 j5 v; l! I, y例如：pi的取用。
5 g% u5 Q# D5 v7 k: C/ A. cpi取S-4結果為何?先取出pi=3.1415926535897932384626433832795
若我們使用精度為Qword則有64位元可以用，可以先乘上2^32，取用4相關的指數，可以在顯示時容易找到小數點位置。
* T( R5 d# }( J! d3 W- J結果為13493037704.522018958598982648896
, n. ~9 x8 y: W! V: m. h直接按二進位，結果為11 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000
" a7 t# x0 F5 [6 M! j! v. t) {找到小數點位置後可以發現是110010bS-4
輸入110010按十進位可得50，我們可知pi=50S-4
/ T% Z$ a# R4 s0 W4 X另外pi常有人用201/64來表示，其實是使用S-6的格式，可以看上面的值找出pi=11001001bS-6=201S-6
另外四捨五入在二進位很容易做，只要看取需要取用的小數精度下一位是否為1，若是則結果加一，不是則捨棄。
但會引發另一問題，剛好尾數LSB為多個1連續，則會進位。
以pi為例取S-10至S-15四捨五入後表示的數皆相同，都會和S-10完全一樣，精度沒有增加，pi皆為3217S-10，就算是寫成不同的S值，如12868S-12，仍等於3217S-10。

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主題：使用加法做開根及平方計算
7 K" R* r# t; k使用範圍：整數計算開根及平方，計算慢，gate count少
; d  k! c7 c  v7 ^& ]# O9 L8 y參考資料：MATH toolkit for Real-Time Programming by Jack W. Crenshaw CMP Books
. J- u9 i* f( G! q, W原理說明：
這是我們常用的公式(n+1)^2=n^2+2*n+1
% ?9 F3 J7 {' `5 z7 F" F改寫為(n+1)^2=n^2+n+(n+1)，其中n^2在上次計算可得到，所以只剩n及(n+1)且只使用加法就可以進行。
. @' S8 c0 _9 m4 H設計演算法為
9 A4 A6 x" u4 ]* C& h5 `: Wa=Count
b=Last Sum= Sum
c=Sum=Last Sum+Count
d=Squart=Sum+Last Sum
3 W$ a7 r  r  i7 @* K排表為
" o, M0 Q% ]# w& W0 O/ cａ　ｂ　ｃ　ｄ
0　 0   0　 0
  B0 d. x2 L+ g, Z; |% q 1　 0   1　 1
2　 1   3　 4
3　 3   6　 9
! x* ~5 K" J3 }) D  } 4　 6  10　16
5　10  15　25
若要取得平方，就將輸入做為計算的次數。計算停下來時，取出d就是答案。
. j; ~3 h9 t# P要做開方，就將輸入和輸出比較，超過時停下來，取出a就是答案。
若要使用到小數，則使用定點數方式可以得到。

t8810012

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