FPGA數值運算問題解答收集

walltsou

在使用FPGA後教了別人數次定點數小數表示法，發現一些狀況。但自己並不是走這一行的，所以一些比較深入的問題也無法回答。所以希望經由各位高手將其應用經驗以或是提供相關資料參考。
能得到一些常用於FPGA的數值運算，如小數表示、乘除法、開根及平方、三角函數、亂數以及其他常用數值方法。
( V6 l# Y* q8 _9 b此篇文章屬拋磚引玉性質，可能對一些人來說這些知識是"幼稚班"等級，但對於像我這種由韌體兼職FPGA工程師是有很大的幫助。
5 t  s. d; l% i/ y- ]0 V格式大概為下列所列，各作者可以自行調整。
主題：可以讓人了解的題目
  K- a3 F! X" R- ]  m& |使用資源：計算時間、使用Gate count數目等
7 D. O) ^8 \, s* t適用及限定範圍：說明常用及不合適的地方
參考資料來源：出處或參考書本
( H+ N( _% M5 @; D原理說明及例子：就是文章開始的地方

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主題：定點數小數表示法
  H+ F1 s- J; Q& G; @8 n使用範圍：使用整數運算系統下之小數運算
參考資料：嵌入式系統構件 Jean J. Labrosse原著 黃文增譯 全華科技圖書出版
原理說明：
先復習一下計算機概論，有許多人都還給老師了。"^"表示次方運算
" c' E* j# L4 F: @101.101b=2^3+2^0+2^-1+2^-3=5.625
4 h+ K8 k- U. I' E現在是如何運用到FPGA上了。其實這個問題在之前的定點數DSP就遇過了，只是後來應用變少了。現在的FPGA又要用，捲土重來。
% P+ ?. S6 |! K( x% ]我們知道FPGA對於整數系統的加減法是可以，但是遇到小數有些人就不知該如何。其實不難，只要在整數運算系統上加上小數點就行了。
例如101.1b+101.1b=1011.0b，可以發現去掉小數點就和整數運算沒有兩樣。意指，只要將小數點那個位數對齊就可以了，使用移位對FPGA是很容易的。
但是整數運算使用為小數要標示小數位置，所以引入類似科學記號表示法。我們知道科學表示法為<尾數>E<指數>，例:3E3=3*10^3=3000，E表示10的次方。
定點數的表示法符號為S，表示法為<尾數>S<指數>，S表示為2的次方。舉例2.5S3=2.5*2^3=2.5*8=20。
! ]4 H6 v: G9 y7 J在基本數學運算下的處理為：
1.加減法
處理方式是將小數位數對齊再做運算。例:2S3+3S2=20S2+3S2=23S2
, o+ {* V5 L/ R4 Z3 l; t# j2.乘除法
7 @3 \  M/ ]" q8 T乘法時要將指數相加，尾數相乘。例:2S3*3S2=6S5
除法時要將指數相減，尾數相除。例:2S3/3S2=0.66S1
3.開根
主要是推導數學運算對指數的影響。
sqrt(aSb)=sqrt(a)*sqrt(2^b)=sqrt(a)*2^(b/2)
可以發現在開根時指數是除2，尾數直接開根。
4.小數精度的選用
! T- N- e6 K/ L2 K# v為了符合精度，要如何選用指數範圍。我們使用定點數其精度取決於二進位小數取多少位。
例如若是使用S-4為其指數，每二數之間最小距離為2^-4=0.0625。此為S-4下的精度。
, O, M8 S: d7 s' V! g/ j對應十進位精度可以使用log(精度)/log(2)去計算要使用的指數。
使用精度0.1則S取用為log(0.1)/log(2)=-3.32，則使用S-4為其數值格式，就夠用了。
. i8 _3 x2 D4 M5.數值範圍
因為定點數是有限的位元組成，也是有限的數字集合及有限的可使用範圍，一但超過範圍的數也無法表示。也就是在運算上有可能會產生縊位問題，而造成非預期結果。
  G1 f* ^8 T6 q# ^$ K( f所以只可以使用在變動不大的運算上。所以要考量使用的數值範圍及使用精度，這方面是定點數在使用前要考量好的。
/ p% d! y6 @- W9 s1 A. i定點數應用例：
已知機器運算只能使用整數的狀況下，要使用小數，則是使用負的S指數，將尾數變成整數。尾數送入機器去運算；指數則是人工管理。
8 |0 x7 \- k- E- l例：r=10.1求圓面積area，假設輸出入需求精度為0.1
解答：精度為0.1則，log(0.1)/log(2)=-3.32，故選用的S指數要到S-4可以達成。
pi=3.1416=50S-4(四捨五入)
r=10.1=162S-4(四捨五入)
& X- z5 O& \" }2 W: a; _area=pi*r*r=50S-4*162S-4*162S-4=1312200S-12=5126S-4(四捨五入)
& A( V  f% A9 ^  I1 T* s: z換算為320.375
+ r) O# P, E9 \8 C0 [  y' ^實際為320.47386659269480825557425152834
! m7 d* ~- H4 }3 C" h+ o5 v只有精準到整數，是因為所有數值精確度只有到0.1，誤差是0.05，運算來源有三個，故最大誤差為0.15，所以符合誤差範圍。
由算式可以得知機器只計算50*162*162，解讀結果需右移8位元含四捨五入，輸出結果為S-4格式。
; ^* k  e* J* B- L& S$ Y8 x5 Z: j小技巧：
定點數之計算可以使用小算盤來算。將小算盤設定為工程型。使用二進位顯示就可以將十進位轉成二進位。
$ ~- N6 b) [2 C! @& V因二進位只能使用整數，所以要先轉成整數才可以顯示。
- S( y' G2 D# H: n2 T例如：pi的取用。
pi取S-4結果為何?先取出pi=3.1415926535897932384626433832795
若我們使用精度為Qword則有64位元可以用，可以先乘上2^32，取用4相關的指數，可以在顯示時容易找到小數點位置。
結果為13493037704.522018958598982648896
+ Z, X* g! ], J/ O* B' O  {/ T7 {直接按二進位，結果為11 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000
0 v- r/ q9 V/ u+ S找到小數點位置後可以發現是110010bS-4
* v2 O9 P4 r. h% r, e: T輸入110010按十進位可得50，我們可知pi=50S-4
另外pi常有人用201/64來表示，其實是使用S-6的格式，可以看上面的值找出pi=11001001bS-6=201S-6
1 _4 T* I% G/ y8 K  o另外四捨五入在二進位很容易做，只要看取需要取用的小數精度下一位是否為1，若是則結果加一，不是則捨棄。
但會引發另一問題，剛好尾數LSB為多個1連續，則會進位。
& P6 x$ n: a' p$ y6 ]. C以pi為例取S-10至S-15四捨五入後表示的數皆相同，都會和S-10完全一樣，精度沒有增加，pi皆為3217S-10，就算是寫成不同的S值，如12868S-12，仍等於3217S-10。

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主題：使用加法做開根及平方計算
* {, K% W, Q+ k3 x4 U9 z2 _9 r( i使用範圍：整數計算開根及平方，計算慢，gate count少
" q8 M9 b3 ?5 b! E% Q# n參考資料：MATH toolkit for Real-Time Programming by Jack W. Crenshaw CMP Books
. X/ G; z: [& h8 P1 I原理說明：
這是我們常用的公式(n+1)^2=n^2+2*n+1
" h1 I& U" Y' S$ [/ }9 p改寫為(n+1)^2=n^2+n+(n+1)，其中n^2在上次計算可得到，所以只剩n及(n+1)且只使用加法就可以進行。
' t9 O; q" F: `: D6 P設計演算法為
a=Count
( S7 ?" S9 R% ^; ub=Last Sum= Sum
c=Sum=Last Sum+Count
d=Squart=Sum+Last Sum
- v- G! n+ m2 U$ H" o, z( P排表為
ａ　ｂ　ｃ　ｄ
) Y% Y5 X4 ~% L1 l  r7 [ 0　 0   0　 0
) O' l+ h% |# [9 |: @2 T 1　 0   1　 1
: H' d& _$ Q9 R% h% M! Q 2　 1   3　 4
3　 3   6　 9
' [" y4 ?% ^+ J. _% @ 4　 6  10　16
1 X& o5 x0 ?/ K4 J" { 5　10  15　25
7 \2 v+ d8 L# _: C6 D6 y' i若要取得平方，就將輸入做為計算的次數。計算停下來時，取出d就是答案。
要做開方，就將輸入和輸出比較，超過時停下來，取出a就是答案。
若要使用到小數，則使用定點數方式可以得到。