FPGA數值運算問題解答收集

walltsou

在使用FPGA後教了別人數次定點數小數表示法，發現一些狀況。但自己並不是走這一行的，所以一些比較深入的問題也無法回答。所以希望經由各位高手將其應用經驗以或是提供相關資料參考。
% J( G4 j  Z. D! E& o2 {/ G能得到一些常用於FPGA的數值運算，如小數表示、乘除法、開根及平方、三角函數、亂數以及其他常用數值方法。
此篇文章屬拋磚引玉性質，可能對一些人來說這些知識是"幼稚班"等級，但對於像我這種由韌體兼職FPGA工程師是有很大的幫助。
格式大概為下列所列，各作者可以自行調整。
主題：可以讓人了解的題目
使用資源：計算時間、使用Gate count數目等
2 m: v9 _0 p! L6 J5 T適用及限定範圍：說明常用及不合適的地方
參考資料來源：出處或參考書本
原理說明及例子：就是文章開始的地方

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主題：定點數小數表示法
使用範圍：使用整數運算系統下之小數運算
. \& |( X% R0 \9 G3 V  Z2 R參考資料：嵌入式系統構件 Jean J. Labrosse原著 黃文增譯 全華科技圖書出版
原理說明：
先復習一下計算機概論，有許多人都還給老師了。"^"表示次方運算
101.101b=2^3+2^0+2^-1+2^-3=5.625
現在是如何運用到FPGA上了。其實這個問題在之前的定點數DSP就遇過了，只是後來應用變少了。現在的FPGA又要用，捲土重來。
我們知道FPGA對於整數系統的加減法是可以，但是遇到小數有些人就不知該如何。其實不難，只要在整數運算系統上加上小數點就行了。
( v- ^$ ^6 h, z例如101.1b+101.1b=1011.0b，可以發現去掉小數點就和整數運算沒有兩樣。意指，只要將小數點那個位數對齊就可以了，使用移位對FPGA是很容易的。
0 W/ z! C7 W; r8 G" S! S但是整數運算使用為小數要標示小數位置，所以引入類似科學記號表示法。我們知道科學表示法為<尾數>E<指數>，例:3E3=3*10^3=3000，E表示10的次方。
定點數的表示法符號為S，表示法為<尾數>S<指數>，S表示為2的次方。舉例2.5S3=2.5*2^3=2.5*8=20。
! E5 h! F( A) ?" e' Y0 }4 I在基本數學運算下的處理為：
1.加減法
7 R4 j' Z) {/ p5 [, m- i處理方式是將小數位數對齊再做運算。例:2S3+3S2=20S2+3S2=23S2
3 V- {0 h  ?0 w6 p9 D) \6 h2.乘除法
( [: {7 x9 Y: `# b4 a6 z乘法時要將指數相加，尾數相乘。例:2S3*3S2=6S5
除法時要將指數相減，尾數相除。例:2S3/3S2=0.66S1
* x2 ~, A- N9 E6 j8 v3.開根
, v8 k! V2 ?- s- Q主要是推導數學運算對指數的影響。
sqrt(aSb)=sqrt(a)*sqrt(2^b)=sqrt(a)*2^(b/2)
" k  A# p4 e/ ?! T! Q, Y# ~/ q可以發現在開根時指數是除2，尾數直接開根。
1 G5 I( e' \; t! j/ j( |8 x$ n4.小數精度的選用
" Z4 B5 h* ]; R4 t7 V2 i' [為了符合精度，要如何選用指數範圍。我們使用定點數其精度取決於二進位小數取多少位。
4 j' E1 F% j2 F7 M, q  }7 C例如若是使用S-4為其指數，每二數之間最小距離為2^-4=0.0625。此為S-4下的精度。
對應十進位精度可以使用log(精度)/log(2)去計算要使用的指數。
使用精度0.1則S取用為log(0.1)/log(2)=-3.32，則使用S-4為其數值格式，就夠用了。
5.數值範圍
因為定點數是有限的位元組成，也是有限的數字集合及有限的可使用範圍，一但超過範圍的數也無法表示。也就是在運算上有可能會產生縊位問題，而造成非預期結果。
所以只可以使用在變動不大的運算上。所以要考量使用的數值範圍及使用精度，這方面是定點數在使用前要考量好的。
定點數應用例：
' i/ A0 w3 U8 i( p' N* |6 h已知機器運算只能使用整數的狀況下，要使用小數，則是使用負的S指數，將尾數變成整數。尾數送入機器去運算；指數則是人工管理。
1 R, X: i+ l/ t例：r=10.1求圓面積area，假設輸出入需求精度為0.1
解答：精度為0.1則，log(0.1)/log(2)=-3.32，故選用的S指數要到S-4可以達成。
/ C% H# {! C0 Z( Xpi=3.1416=50S-4(四捨五入)
& i9 \5 A+ I, \. n+ M! t1 a* i* u5 or=10.1=162S-4(四捨五入)
area=pi*r*r=50S-4*162S-4*162S-4=1312200S-12=5126S-4(四捨五入)
% A. e/ A$ q( k* H9 Y, k' B換算為320.375
實際為320.47386659269480825557425152834
" x, }3 s" m% F. m  `0 T$ o; g$ j' D只有精準到整數，是因為所有數值精確度只有到0.1，誤差是0.05，運算來源有三個，故最大誤差為0.15，所以符合誤差範圍。
由算式可以得知機器只計算50*162*162，解讀結果需右移8位元含四捨五入，輸出結果為S-4格式。
" k! J: G! h! x; J  G6 m# B小技巧：
, G! h: T  i0 R5 V: {定點數之計算可以使用小算盤來算。將小算盤設定為工程型。使用二進位顯示就可以將十進位轉成二進位。
因二進位只能使用整數，所以要先轉成整數才可以顯示。
例如：pi的取用。
7 x. B; z( N$ Tpi取S-4結果為何?先取出pi=3.1415926535897932384626433832795
若我們使用精度為Qword則有64位元可以用，可以先乘上2^32，取用4相關的指數，可以在顯示時容易找到小數點位置。
$ e" J$ q1 W2 n* a7 B結果為13493037704.522018958598982648896
7 Z$ d: D0 {$ J, Y3 b4 r/ A直接按二進位，結果為11 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000
+ y6 }5 }' y+ D+ H+ ^; K7 F找到小數點位置後可以發現是110010bS-4
3 `# ~2 j5 a$ g8 V* g" O' ?2 |輸入110010按十進位可得50，我們可知pi=50S-4
0 G* Y4 D$ ~/ ~, Z8 q7 G2 V8 i7 O另外pi常有人用201/64來表示，其實是使用S-6的格式，可以看上面的值找出pi=11001001bS-6=201S-6
% C: c, e; H. M0 _. O( {' a+ o7 w- ]另外四捨五入在二進位很容易做，只要看取需要取用的小數精度下一位是否為1，若是則結果加一，不是則捨棄。
* G+ K2 h9 ^0 y& }4 U0 d但會引發另一問題，剛好尾數LSB為多個1連續，則會進位。
以pi為例取S-10至S-15四捨五入後表示的數皆相同，都會和S-10完全一樣，精度沒有增加，pi皆為3217S-10，就算是寫成不同的S值，如12868S-12，仍等於3217S-10。

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主題：使用加法做開根及平方計算
) C: b- C! |% a, |3 m使用範圍：整數計算開根及平方，計算慢，gate count少
參考資料：MATH toolkit for Real-Time Programming by Jack W. Crenshaw CMP Books
' a$ r4 V/ T& f- Q# E原理說明：
# J5 W! ]* e9 x6 J這是我們常用的公式(n+1)^2=n^2+2*n+1
改寫為(n+1)^2=n^2+n+(n+1)，其中n^2在上次計算可得到，所以只剩n及(n+1)且只使用加法就可以進行。
設計演算法為
a=Count
b=Last Sum= Sum
! L! j% g' a- e( Vc=Sum=Last Sum+Count
d=Squart=Sum+Last Sum
0 L6 t) \% u  e) w排表為
ａ　ｂ　ｃ　ｄ
; I; _& ^4 R* F2 w4 b% F+ Q 0　 0   0　 0
: Z, |( n3 C& \- l 1　 0   1　 1
2　 1   3　 4
5 K1 j/ Y) \) _ 3　 3   6　 9
4　 6  10　16
5　10  15　25
; `& X8 F% d5 `( Z( ~5 O/ r若要取得平方，就將輸入做為計算的次數。計算停下來時，取出d就是答案。
, l8 l6 Y% q* O; s3 W5 a% i要做開方，就將輸入和輸出比較，超過時停下來，取出a就是答案。
若要使用到小數，則使用定點數方式可以得到。